Question

7．在数列{a_n}中，s_n为其前几项和，且s_n=2a_n-$\frac{1}{4}$
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及s_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=na_n，求数列{b_n}的前几项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n，S_n．
（2）利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵s_n=2a_n-$\frac{1}{4}$，∴当n=1时，a₁=2a₁-$\frac{1}{4}$，解得${a}_{1}=\frac{1}{4}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$（2{a}_{n}-\frac{1}{4}）$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{4}）$，化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{4}$，公比为2，
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3．
∴S_n=$\frac{\frac{1}{4}（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{1}{4}（{2}^{n}-1）$．
（2）b_n=n•a_n=$\frac{1}{4}（n•{2}^{n}-n）$．
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为A_n．
∴A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴$-{A}_{n}=2+{2}^{2}+…+{2}^{n}$-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{b_n}的前几项和T_n=$\frac{1}{4}[（n-1）×{2}^{n+1}+2-\frac{n（n+1）}{2}]$
=（n-1）×2^n-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{n（n+1）}{8}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．