Question

12．已知下列三个正确的结论：
①在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立
②在四边形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立
③在五边形ABCDE中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立．
（1）猜想在n边形A₁，A₂，…A_n中，有怎样的不等式成立？
（2）证明：在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立．

Answer 1

分析 （1）观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案．
（2）利用基本不等式可得在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立．

解答 解：（1）∵①在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立
②在四边形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立
③在五边形ABCDE中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立．
…
归纳可得：在n边形A₁，A₂，…A_n中，$\frac{1}{{A}_{1}}+$$\frac{1}{{A}_{2}}+$$\frac{1}{{A}_{3}}+$…+$\frac{1}{{A}_{n}}≥$$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$
证明：（2）在△ABC中，A+B+C=π，
∴（$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$）π=（$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$）（A+B+C）=3+（A+$\frac{1}{A}$）+（B+$\frac{1}{B}$）+（C+$\frac{1}{C}$）≥9．
∴$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$

点评 本题（1）考查的知识点是归纳推理，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．（2）要注意利用基本不等式．