Question

17．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=5，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2cosα}\\{y=4+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数，α∈[0，2π]）．
（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线l的极坐标方程为ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=5，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化为直角坐标方程，由圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2cosα}\\{y=4+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数，α∈[0，2π]），利用sin²α+cos²α=1化为直角坐标方程．
（2）解法一：设圆心C到直线l的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，再与圆C的半径r=2，比较即可得出．
解法二：假设圆C与直线有公共点P（x，y），则$x-\sqrt{3}y-5=0$，将圆C的参数方程代入直线方程，有：$（5+2cosα）-\sqrt{3}（4+2sinα）=5$，判断是否有解即可．

解答 解：（1）由直线l的极坐标方程为ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=5，化为直角坐标方程为：$x-\sqrt{3}y-5=0$，
由圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2cosα}\\{y=4+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数，α∈[0，2π]）化为直角坐标方程为：（x-5）²+（y-4）²=4．
（2）直线l与圆C相离．
解法一：设圆心C到直线l的距离为d，则$d=\frac{{|{5-\sqrt{3}×4-5}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-\sqrt{3}）}^2}}}}=2\sqrt{3}$，
∵圆C的半径r=2，∴d＞r．
∴直线l与圆C相离．
解法二：假设圆C与直线有公共点P（x，y），
则有$x-\sqrt{3}y-5=0$和$\left\{\begin{array}{l}x=5+2cosα\\ y=4+2sinα\end{array}\right.（{α为参数，α∈[0，2π）}）$，
将圆C的参数方程代入直线方程，有：$（5+2cosα）-\sqrt{3}（4+2sinα）=5$，
整理得：$cosα-\sqrt{3}sinα=2\sqrt{3}$$2cos（α+\frac{π}{3}）=2\sqrt{3}$$cos（α+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}＞1$，此方程无解，
因此假设不成立，直线与圆相离．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．