Question

9．f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上单调递减，则b的取值范围为（-∞，-1]．

Answer 1

分析 根据函数在（-1，+∞）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f′（x）＜0进而根据导函数的解析式求得b的范围．

解答 解：由题意可知f′（x）=-x+$\frac{b}{x+2}$＜0，
在x∈（-1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
∵f（x）=x（x+2）=x²+2x且x∈（-1，+∞）
∴f（x）＞-1
∴要使b＜x（x+2），需b≤-1，
故b的取值范围为（-∞，-1]，
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题主要考查了函数单调性的应用．利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法，属于中档题．