Question

6．定义在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，对任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）-log₄x]=5．x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个根，则x₀所在区间为（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，3）
• C． （3，4）
• D． （4，5）

Answer 1

分析 利用换元法设f（x）-log₄x=t，求出函数f（x）的表达式，利用导数化简方程，利用根的存在性定理进行判断即可．

解答 解：设f（x）-log₄x=t，
则f（t）=5，
即f（x）=log₄x+t，
当x=t时，f（t）=log₄t+t=5，
解得t=4，
∵在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，
∴f（x）=log₄x+4，
则f′（x）=$\frac{1}{xln4}$，
则方程f（x）-f′（x）=4等价为log₄x+4-$\frac{1}{xln4}$=4，
即log₄x-$\frac{1}{xln4}$=0，
即lnx4•log₄x-$\frac{1}{x}$=0，
则lgx-$\frac{1}{x}$=0，
设h（x）=lgx-$\frac{1}{x}$，则函数h（x）在（0，+∞）上为增函数，
则h（1）=lg1-1=-1＜0，
h（2）=lg2-$\frac{1}{2}$=lg$\frac{2}{\sqrt{10}}$＜0，
h（3）=lg3-$\frac{1}{3}$=lg$\frac{3}{\root{3}{10}}$＞0，
即在（2，3）内函数h（x）存在一个零点，
即x₀所在区间为（2，3），
故选：B

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数零点的判断，利用函数零点的判断条件，将函数与方程进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．