Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-2，0）上零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入函数的表达式，求出函数的导数，通过解导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极大值是f（-1），通过讨论f（-1）的符号，得到a的范围，从而得到函数的零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-1，则f′（x）=x²-1，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，1）递减；
（Ⅱ）由题意得：f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），a＞0，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞a，由f′（x）＜0，得-1＜x＜a，
∴函数f（x）在（-∞，-1），（a，+∞）单调递增，在（-1，a）单调递减，
函数的极大值是f（-1）=$\frac{1-3a}{6}$，又f（0）=-a＜0，
∴当f（-1）＜0，即a＞$\frac{1}{3}$时，函数f（x）在区间（-2，0）上没有零点，
当f（-1）=0，即a=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）在区间（-2，0）只有一个零点x=-1，
当f（-1）＞0，即a＜$\frac{1}{3}$时，函数f（x）在（-2，-1）单调递增，在（-1，0）单调递减，
且f（-2）＜0，f（0）=-a＜0，函数f（x）在区间（-2，0）上有2个零点，
综上，0＜a＜$\frac{1}{3}$时，f（x）在区间（-2，0）上有两个零点，
a=$\frac{1}{3}$时，f（x）在区间（-2，0）上只有一个零点，
a＞$\frac{1}{3}$时，f（x）在区间（-2，0）上没有零点．

点评 本题考察了函数的单调性、零点问题，考察导数的应用，考察分类讨论思想，第二问中求出函数的极大值并讨论出a的范围是解答本题的关键，本题是一道中档题．