Question

13．已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t为参数）．
（1）写出函数f（x）的定义域和值域；
（2）当x∈[0，1]时，如果f（x）≤g（x），求参数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的图象和性质即可求出定义域和值域；
（2）由题意得到得x+1≤（2x+t）²在x∈[0，1]恒成立，分离参数得到t≥$\sqrt{x+1}$-2x在x∈[0，1]恒成立，构造函数h（x）=$\sqrt{x+1}$-2x，求出最大值即可．

解答 解：（1）定义域为（-1，+∞））
值域为：R；
（2）由f（x）≤g（x），得lg（x+1）≤2lg（2x+t），得x+1≤（2x+t）²在x∈[0，1]恒成立，
得t≥$\sqrt{x+1}$-2x在x∈[0，1]恒成立，
令u=$\sqrt{x+1}$（u∈[1，$\sqrt{2}$]），解得x=u²-1，
得h（x）=$\sqrt{x+1}$-2x=-2u²+u+2（u∈[1，$\sqrt{2}$]）最大值为1，
故t的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的图象和性质，以及函数恒成立的问题，属于中档题．