Question

8．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点$P（0，\sqrt{3}）$，离心率e=$\frac{1}{2}$，A为椭圆C₁上的一点，B为抛物线C₂：y²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x上一点，且A为线段OB的中点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$b=\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，联立解得即可得出；
（2）设A点坐标为（x₀，y₀），则B点坐标为（2x₀，2y₀），分别代入椭圆和抛物线方程得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1}\\{（2{y}_{0}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}（2{x}_{0}）}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点$P（0，\sqrt{3}）$，离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$b=\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，联立解得$b=\sqrt{3}$，c=1，a=2．
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设A点坐标为（x₀，y₀），则B点坐标为（2x₀，2y₀），分别代入椭圆和抛物线方程得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1}\\{（2{y}_{0}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}（2{x}_{0}）}\end{array}\right.$，
消去y₀并整理得：$3{x}_{0}^{2}+\sqrt{3}{x}_{0}$-12=0，解得x₀=$\sqrt{3}$或$-\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
当x₀=$\sqrt{3}$时，解得y₀=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当${x}_{0}=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，y₀无解．
∴直线AB的方程为y=$±\frac{1}{2}x$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、中点坐标公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．