Question

13．在直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C₁：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）与经过点P（-2，4）的直线C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数）交于M，N两点．
（1）求曲线C₁，C₂的普通方程．
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）化为ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入即可得出；直线C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），相减即可得出．
（2）把直线C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数）代入y²=2ax，可得：t²+$（8\sqrt{2}-2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，利用根与系数的关系可得：$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}$=8a²-96a．由于|PM|，
|MN|，|PN|成等比数列，可得|MN|²=|PM||PN|，把根与系数代入即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）化为ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），
∴y²=2ax；
直线C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），相减化为x-y+6=0．
（2）把直线C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数）代入y²=2ax，可得：t²+$（8\sqrt{2}-2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，
∴t₁+t₂=$2\sqrt{2}a-8\sqrt{2}$，t₁t₂=8a+32．
∴$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}$=$（2\sqrt{2}a-8\sqrt{2}）^{2}-4（8a+32）$=8a²-96a．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|²=|PM||PN|，
∴8a²-96a=8a+32，
化为a²-13a-4=0，a＞0，解得a=$\frac{13+\sqrt{185}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、一元二次方程的根与系数、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．