Question

14．椭圆E：$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{4}$=1内有一点P（2，1），求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程．

Answer 1

分析 设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案．

解答 解：设所求直线与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程，两式相减得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}=0$．
又x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
因此所求直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．