Question

19．如果椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是x+4y-5=0．

Answer 1

分析 设这条弦与椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由中点坐标公式和P，Q坐标代入椭圆方程，由作差，即可求得直线PQ的斜率，由点斜式方程，即可得到所求直线方程．

解答 解：设这条弦与椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由中点坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）代入x²+4y²=36，
得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=36①}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=36②}\end{array}\right.$，
①-②，得2（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴这条弦所在的直线的方程y-1=-$\frac{1}{4}$（x-1），
即为x+4y-5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y-5=0．
故答案为：x+4y-5=0．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．