Question

11．设函数f_k（x）=x^k+bx+c（k∈N^*，b，c∈R），g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）
（1）若b+c=1，且f_k（1）=g（$\frac{1}{4}$），求a的值；
（2）记函数f₂（x）在[-1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M-m≤4时b的取值范围；
（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]满足等式g（x₁）+g（x₂）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得1+b+c=log_a$\frac{1}{4}$=2，从而解得；
（2）化简f₂（x）=x²+bx+c，由二次函数的性质知，讨论对称轴以确定函数的最值，从而结合M-m≤4求b的取值范围；
（3）化简g（x₁）+g（x₂）=p为g（x₁）=p-g（x₂），从而可得[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-log_aa²，p-log_aa]，从而由集合的包含关系得$\left\{\begin{array}{l}{p-2≤1}\\{1+lo{g}_{a}2≤p-1}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（$\frac{1}{4}$），
∴1+b+c=log_a$\frac{1}{4}$=2，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）f₂（x）=x²+bx+c，
当对称轴x=-$\frac{b}{2}$≤-1，即b≥2时，
M=f（1）=1+b+c，m=f（-1）=1-b+c，
M-m=2b≤4，
解得b≤2，
∴b=2．
当对称轴-1＜-$\frac{b}{2}$≤0，即0≤b＜2时，
M=f（1）=1+b+c，m=f（-$\frac{b}{2}$）=c-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
M-m=b+1+$\frac{{b}^{2}}{4}$≤4，
解得-6≤b≤2，
∴0≤b＜2．
当对称轴0＜-$\frac{b}{2}$＜1，即-2≤b＜0时，
M=f（-1）=1-b+c，m=f（-$\frac{b}{2}$）=c-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
M-m=1-b+$\frac{{b}^{2}}{4}$≤4，
解得-2≤b≤6，
∴-2＜b＜0．
当对称轴-$\frac{b}{2}$≥1，即b≤-2时，
M=f（-1）=1-b+c，m=f（1）=1+b+c，
M-m=-2b≤4，
解得b≥-2，
∴b=-2．
综上所述：b的取值范围是[-2，2]．
（3）∵g（x₁）+g（x₂）=p，
∴g（x₁）=p-g（x₂），
又∵任意实数x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]，
∴[log_aa，log_a（2a）]⊆[p-log_aa²，p-log_aa]，
即[1，1+log_a2]⊆[p-2，p-1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-2≤1}\\{1+lo{g}_{a}2≤p-1}\end{array}\right.$，
又∵满足该等式的常数p的取值唯一，
∴1+log_a2=2，
解得，a=2．

点评 本题考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，同时考查了集合的关系应用，属于中档题．