Question

13．已知F₁、F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，若双曲线C上一点P满足∠F₁PF₂=90°，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，则双曲线C的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x．

Answer 1

分析 由题意，求出|PF₁|、|PF₂|的值，由∠F₁PF₂=90°，利用勾股定理，建立方程，从而求出$\frac{b}{a}$的值，即得渐近线方程．

解答 解：根据题意，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
又∠F₁PF₂=90°，
∴（3a）²+a²=（2c）²=4a²+4b²，
∴b²=$\frac{2}{3}$a²，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴双曲线C的渐近线方程是y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x．

点评 本题考查了双曲线的几何性质的应用问题，解题时应结合双曲线的定义进行解答，是基础题．