Question

4．数列{a_n}定义如下：a₁=2，a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a_n＞0，n∈N^*
（1）求a_n的通项公式；
（2）设b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），n∈N^*，求证：当a＞-4时，总有b_n+1＞b_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式推得数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）把a_n的通项公式代入b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），n∈N^*，把b_n+1、b_n作差，然后借助于二次函数证明b_n+1＞b_n．

解答 （1）解：由${{a}_{n+1}}^{2}=2{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}{a}_{n+1}$，得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）$，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n（a_n+1+a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，
则数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}={2}^{n}$；
（2）证明：b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n）=（1-2ⁿ）²-a（1-2ⁿ）=（1-2ⁿ）（1-2ⁿ-a），
${b}_{n+1}-{b}_{n}=（1-{2}^{n+1}）（1-{2}^{n+1}-a）$-（1-2ⁿ）（1-2ⁿ-a）
=3•（2ⁿ）²+（a-2）•2ⁿ．
令t=2ⁿ≥2，
则y=b_n+1-b_n=3•（2ⁿ）²+（a-2）•2ⁿ=3t²+（a-2）t，
对称轴方程为t=$\frac{2-a}{6}$，若a＞-4，则t＜1，y在[2，+∞）上为增函数，
又当t=2时，y=8+2a＞0．
∴y=b_n+1-b_n＞0．
即当a＞-4时，总有b_n+1＞b_n．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了作差法证明数列不等式，是中档题．