Question

14．关于函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}$的说法正确的是①②③．（填正确序号）
①最小正周期为π
②图象关于x=$\frac{π}{3}$对称   
③图象关于点$（\frac{7π}{12}，0）$成中心对称       
④在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]$上单调递增．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由三角函数的性质逐个选项验证可得．

解答 解：化简可得f（x）=sin²x+$\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
验证可得①最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，正确；
把x=$\frac{π}{3}$代入可得y=sin（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=1为最大值，
故②图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，正确；
把x=$\frac{7π}{12}$代入可得y=sin（$\frac{7π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=0，
故③图象关于点$（\frac{7π}{12}，0）$成中心对称，正确；      
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函数在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]$上不单调，
故④在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]$上单调递增，错误．
故答案为：①②③

点评 本题考查三角函数的图象和性质，属中档题．