Question

4．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），以抛物线y²=8x的焦点为顶点，且离心率为$\frac{1}{2}$
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上； 
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，由题意可得a=2，再由离心率公式可得c，进而得到b，即有椭圆方程；
（2）（i）设A（m，n），则B（m，-n）代入椭圆方程，通过直线方程求得交点M，代入椭圆方程的左边，检验即可得证；
（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），求得|y₁-y₂|，通过对勾函数的单调性，即可得到面积的最大值．

解答 解：（1）因为抛物线y²=8x的焦点为（2，0），
又椭圆以抛物线焦点为顶点，
所以a=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，所以c=1，b²=3，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1．
（2）（i）证明：由题意得F（1，0）、N（4，0）．
 设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}$=1．
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）+（m-4）y=0，
设M（x₀，y₀），则有$\left\{\begin{array}{l}{n（{x}_{0}-1）-（m-1）{y}_{0}=0}\\{n（{x}_{0}-4）+（m-4）{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，得x₀=$\frac{5m-8}{2m-5}，{y_0}=\frac{3n}{2m-5}$，
由于$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=\frac{{{{（5m-8）}^2}}}{{4{{（2m-5）}^2}}}+\frac{{{{（3n）}^2}}}{{3{{（2m-5）}^2}}}$=$\frac{{{{（5m-8）}^2}+12{n^2}}}{{4{{（2m-5）}^2}}}=\frac{{{{（5m-8）}^2}+36-9{m^2}}}{{4{{（2m-5）}^2}}}$=1，
所以点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）解：设AM的方程为x=ty+1，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），解方程得，y₁=$\frac{{-3t+6\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}，{y_2}=\frac{{-3t-6\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}$．
|y₁-y₂|=$\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}$，令$\sqrt{{t^2}+1}$=λ（λ≥1），
令$\sqrt{{t^2}+1}$=λ（λ≥1），则|y₁-y₂|=$\frac{12λ}{{3{λ^2}+1}}=\frac{12}{{3λ+\frac{1}{λ}}}$，
因为函数y=3λ+$\frac{1}{λ}$在[1，+∞）上为增函数，
所以，当λ=1即t=0时，y=3λ+$\frac{1}{λ}$有最小值4，
S_△AMN=$\frac{1}{2}|FN|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{3}{2}•\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}$=$\frac{3}{2}•\frac{12λ}{{3{λ^2}+1}}=\frac{3}{2}•\frac{12}{{3λ+\frac{1}{λ}}}≤\frac{9}{2}$，
所以△AMN面积最大值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，求出交点，考查函数的单调性的运用，属于中档题．