Question

12．对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a．f₁（x）+b．f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的线性函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x），的线性函数？并说明理由；
第一组：f₁（x）=lg$\frac{x}{10}$，f₂（x）=lg10x，h（x）=lgx，；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（2）设f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，a=2，b=1，线性函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①设alg$\frac{x}{10}$+blg10x=lgx，从而得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a-b=0}\end{array}\right.$；从而判断；
②设a（x²-x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，从而得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{b-a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，从而判断；
（2）化简h（x）=2log₂x+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=log₂x，从而为t＜-（3h²（x）+2h（x））=-3log²₂x-2log₂x，再设s=log₂x，则s∈[1，2]，从而得y=-3s²-2s，从而化为最值问题．

解答 解：（1）①设alg$\frac{x}{10}$+blg10x=lgx，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a-b=0}\end{array}\right.$；
解得，a=b=$\frac{1}{2}$；
所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的线性函数；
②设a（x²-x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，
即（a+b）x²+（b-a）x+b=x²-x+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{b-a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
该方程组无解；
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的线性函数．
（2）h（x）=2log₂x+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=log₂x，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，

即t＜-（3h²（x）+2h（x））=-3log²₂x-2log₂x，
设s=log₂x，则s∈[1，2]，
y=-3log²₂x-2log₂x=-3s²-2s，
则y_max=-5，
故，t＜-5．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了存在性问题及最值问题，属于中档题．