Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和配方，化简整理，解方程即可得到k．

解答 解：（1）由题意可得，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=a²-c²，
解得b=$\sqrt{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
即有|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（2{k}^{2}-4）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
解得k=±1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．