Question

8．已知椭圆C的左右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，经过P（1，1）的直线L与椭圆C交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P为弦AB的中点，求直线L的方程及弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a，由a，b，c的关系，即可得到b，进而得到椭圆方程；
（2）设弦的端点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入椭圆方程，作差，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．再由椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式即可得到弦长．

解答 解：（1）由题意可得，c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设弦的端点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入椭圆方程，得
x₁²+2y₁²=8①，x₂²+2y₂²=8②；
①-②，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0；
由中点坐标$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，代入上式，得
（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0，
∴直线斜率为k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
所求弦的直线方程为：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-3=0．
由x+2y-3=0和椭圆方程x²+2y²=8，
可得3x²-6x-7=0，
可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{7}{3}$，
可得|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{4+\frac{28}{3}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法和圆锥曲线中点坐标公式的运用，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于中档题．