Question

18．已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f（2+x）-f（2-x）=0；③当x∈[0，2]时，f（x）=x．若过点（-1，0）的直线l与函数y=f（x）的图象在x∈[0，16]上恰有8个交点，在直线l斜率k的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2}{19}$，$\frac{2}{15}$）
• B． （0，$\frac{15}{2}$）
• C． （0，$\frac{2}{17}$）
• D． （0，$\frac{17}{2}$）

Answer 1

分析 由①可知：函数f（x）为偶函数；由②可知：函数f（x）的图象关于直线x=2对称；由于③当x∈[0，2]时，f（x）=x．画出图象：当经过点（18，2）时，k_l=$\frac{2}{19}$；
当经过点（4，2）时，k_l=$\frac{2}{15}$．根据直线l与函数y=f（x）的图象在x∈[0，16]上恰有8个交点，即可得出．

解答 解：①函数f（x）的图象关于y轴对称，为偶函数；②对于任意x∈R，f（2+x）-f（2-x）=0，其图象关于直线x=2对称；③当x∈[0，2]时，f（x）=x．
画出图象：
当经过点（18，2）时，k_l=$\frac{2}{19}$；
当经过点（4，2）时，k_l=$\frac{2}{15}$．
∵直线l与函数y=f（x）的图象在x∈[0，16]上恰有8个交点，
∴直线l斜率k的取值范围是$（\frac{2}{19}，\frac{2}{15}）$．
故选：A．

点评 本题考查了函数的奇偶性、轴对称性、函数图象的交点、斜率计算公式，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．