Question

15．如图1所示，四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，E、F分别在边AD，BC上，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形ABCD沿EF折成一个如图2所示的几何体．
（1）求证：在该几何体中，BC∥平面DAE；
（2）若在该几何体中AD=AE，求一面角C-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题设可证明BF∥平面DAE，CF∥平面DAE，可证平面BCF∥平面DAE，即可证明BC∥平面DAE．
（2）取AE中点O，连接DO，则DO⊥平面ABEF，从而建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，得D，F，B点坐标，由∠CFB=∠DEA=60°可得C点坐标，从而可求$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{BD}$坐标，设平面BDC和平面BDF的法向量分别为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+2{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}=0}\\{{x}_{2}+2{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），即由cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$求二面角C-BD-F的余弦值．

解答 解：（1）证明：∵由题设可知BF∥AE，CF∥DE，
∴从而BF∥平面DAE，CF∥平面DAE，
∵BF和CF在平面BCF内，
∴平面BCF∥平面DAE．
又∵BC?平面BCF，
∴BC∥平面DAE…5分
（2）由条件可知AE=DE，若AD=AE，则△ADE为等边三角形，取AE中点O，连接DO，则DO⊥AE．
∵EF⊥AE，EF⊥DE，∴EF⊥平面ADE，∴EF⊥DO，∴DO⊥平面ABEF，
从而可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
由AD=AE=DE=BF=AB=EF=AB=2，FC=1，易得D（0，0，$\sqrt{3}$），F（1，-2，0），B（-1，-2，0），由∠CFB=∠DEA=60°可得C（$\frac{1}{2}$，-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
所以$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（2，0，0），$\overrightarrow{BD}$=（1，2，$\sqrt{3}$），
设平面BDC和平面BDF的法向量分别为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+2{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}=0}\\{{x}_{2}+2{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{m}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
所以cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．
故二面角C-BD-F的余弦值是：$\frac{3\sqrt{105}}{35}$…12分

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．