Question

12．已知顶点在坐标原点，对称轴为x轴的抛物线C过点P（4，4）．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）斜率为$\sqrt{3}$的直线l过抛物线C的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，求△AOB的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线方程为y²=mx，代入P（4，4），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程．
（Ⅱ）由题意，直线AB方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），与y²=4x消去x得：3x²-10x+3=0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积

解答 解：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=mx，
代入P（4，4），可得16=4m，即有m=4，
则抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）由题意，得直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），
代入y²=4x得：3x²-10x+3=0
设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁x₂=1
可得|AB|=2|x₁-x₂|=$\frac{16}{3}$
又∵点O到直线AB的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△AOB的面积S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查求焦点弦AB与原点构成的△AOB面积．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、直线与抛物线位置关系等知识，属于中档题．