Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{4}$，S_n=S_n-1+a_n-1+$\frac{1}{2}$（n∈N^*，n≥2），数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=3b_n+2，
（1）分别求数列{a_n}和{b_n}通项公式；
（2）若数列{c_n}=a_n-$\frac{10}{{b}_{n}+1}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，求数列{T_n}的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的定义和通项公式可得数列{a_n}的通项，由条件可得{b_n+1}为首项为3，公比为3的等比数列，由等比数列的通项公式可得{b_n}通项公式；
（2）运用分组求和的方法，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到T_n，再求T_n+1，作差即可得到最小值．

解答 解：（1）S_n=S_n-1+a_n-1+$\frac{1}{2}$（n∈N^*，n≥2），可得
a_n=a_n-1+$\frac{1}{2}$，则数列{a_n}为首项为$\frac{1}{4}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
即有a_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{2}$）；
b₁=2，b_n+1=3b_n+2，即为b_n+1+1=3（b_n+1），
即有{b_n+1}为首项为3，公比为3的等比数列，
则有b_n+1=3ⁿ，即b_n=3ⁿ-1；
（2）c_n=a_n-$\frac{10}{{b}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{2}$）-$\frac{10}{{3}^{n}}$，
即有T_n=[$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$+…+$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{2}$）]-（$\frac{10}{3}$+$\frac{10}{9}$+…+$\frac{10}{{3}^{n}}$）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$n•n-$\frac{\frac{10}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$n²-5（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
则T_n+1=$\frac{1}{4}$（n+1）²-5（1-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$），
T_n+1-T_n=$\frac{1}{4}$（2n+1）-$\frac{10}{{3}^{n+1}}$，
则有T_n＞T_n-1＞…＞T₄＞T₃＞T₂，而T₂＜T₁，
即有T₂最小，且为$\frac{1}{4}$×4-5×（1-$\frac{1}{9}$）=-$\frac{31}{9}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．