Question

20．如图，正方体ABC-A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AFC；
（Ⅱ）求证：平面A₁B₁D⊥平面AFC．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理只需证明直线A₁B平行平面AFC内的直线FO即可；
（2）根据面面垂直判定定理只需证明AF⊥平面A₁B₁CD即可．

解答 证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，
则点O是BD的中点．
∵点F为A₁D的中点，∴A₁B∥FO．
又A₁B?平面AFC，FO?平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC．
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接B₁D．∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，AC⊥B₁D．
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF?平面A₁ADD₁，
∴CD⊥AF．
又∵AF⊥A₁D，
∴AF⊥平面A₁B₁CD．
∵AF?平面AFC．
∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC，
即平面A₁B₁D⊥平面AFC．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．