Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过其左焦点且与其长轴垂直的椭圆C的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程
（2）求与椭圆C交于两点且过点（0，$\sqrt{3}$）的直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把x=-c代入椭圆方程解得$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$，可得$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1．又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得即可得出；
（2）设直线l的方程为y=kx+$\sqrt{3}$，与椭圆方程联立化为（1+4k²）x²+$8\sqrt{3}kx$+8=0，由于直线l与椭圆相交于两点，可得△＞0，解出即可．

解答 解：（1）把x=-c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$，∴$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1．
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+$\sqrt{3}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²+$8\sqrt{3}kx$+8=0，
∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=$（8\sqrt{3}k）^{2}$-32（1+4k²）＞0，
化为k²$＞\frac{1}{2}$，
解得$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线l的斜率k的取值范围是$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．