Question

16．已知棱长为a的正四面体可以在一个单位正方体（棱长为1）内任意地转动．设P，Q分别是正四面体与正方体的任意一顶点，当a达到最大值时，P，Q两点间距离的最小值是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意判断出正四面体是单位正方体的内接球的内接正四面体，画出图象再求出最小距离值．

解答 解：由题意可知，正四面体只需在单位正方体的内接球内，
即是正四面体是单位正方体的内接球的内接正四面体，如图：
先作正方体的内切球O，点H是右侧面的中心，在球O上，P为正方体的顶点，
内切球与体对角线交于点Q，此时PQ间的距离取得最小值，
因为正方体的棱长为1，则内接球的半径为$\frac{1}{2}$，
所以|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查了正方体、内接球和内接四面体的关系，考查了空间想象能力，属于中档题．