Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=|sin$\frac{π}{2}$x|，则f（x）与g（x）的图象在区间[0，6]上的交点个数为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 作出两个函数的图象，利用导数求出函数f（x）的单调性和最值，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：当x＞0时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
则函数的导数f′（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，
由f′（x）＞0得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，此时函数递增，
由f′（x）＜0得1-lnx＜0，解得x＞e，此时函数递减，
故当x=e时，函数取得极大值同时也是最大值f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
作出f（x）与g（x）的图象在区间[0，6]上的图象如图：
则f（x）与g（x）的图象在区间[0，6]上的交点个数为6个，
故选：B．

点评 本题主要考查函数交点个数的判断以及利用导数研究函数的单调性，利用数形结合是解决本题的关键．