Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}的通项公式b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$，其前n项和为T_n，求证：${T_n}＜\frac{3}{16}$．

Answer 1

分析 （1）n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{2n•2（n+2）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”与“放缩法”即可得出．

解答 （1）解：n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n，
经检验n=1时成立，
综上可得：a_n=2n．
（2）证明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{2n•2（n+2）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=$\frac{1}{8}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{8}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{1}{8}×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{16}$．
∴${T_n}＜\frac{3}{16}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．