Question

17．在△ABC中，角 A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且sinC=2sin（A-B）．
（Ⅰ）证明：tanA=3tanB；
（Ⅱ）若c=2b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形的内角和可得sinC=sin（A+B）=2sin（A-B），由和差角公式展开化简可得；
（Ⅱ）由正、余弦定理及sinAcosB=3cosAsinB结合已知可得a的值，进而可三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵A+B+C=π，∴C=π-（A+B），
∴sinC=sin（A+B）=2sin（A-B），
由和差角公式可得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB-2cosAsinB，
∴sinAcosB=3cosAsinB，∴tanA=3tanB；
（Ⅱ）由正、余弦定理及sinAcosB=3cosAsinB，
得a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=3b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
化简代入c=2b=2得a=$\sqrt{3}$，∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查正余弦定理，涉及三角形的面积公式和和差角的三角函数公式，属基础题．