Question

7．已知F₁、F₂为椭圆的两个焦点，以线段F₁F₂为一边的正方形ABF₂F₁与椭圆交于M，N两点，且M，N分别为边AF₁，BF₂的中点，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{5}$-1
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 通过连结MF₂，易得MF₁=c，利用勾股定理及椭圆定义计算即得结论．

解答 解：连结MF₂，如图，则正方形ABF₂F₁的边长为2c，
∵M，N分别为边AF₁，BF₂的中点，∴MF₁=c，
由勾股定理可知：MF₂=$\sqrt{M{{F}_{1}}^{2}+{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}+（2c）^{2}}$=$\sqrt{5}$c，
由椭圆定义可知：2a=MF₁+MF₂=（1+$\sqrt{5}$）c，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\frac{1}{2}（1+\sqrt{5}）c}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查求椭圆的离心率，涉及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．