Question

12．当x＞0时，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+1}$≤1-2p恒成立，则实数p的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$]
• C． [-$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 利用x+$\frac{1}{x}$≥2（x＞0）求解，注意等号成立的条件，有条件x＞0可将$\frac{x}{{x}^{2}+1}$转化求解，求出表达式的最值，即可得到p的范围．

解答 解：不等式$\frac{x}{{x}^{2}+1}$≤1-2p，
可得2p≤1-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，因为当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时等号成立，
所以$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2}$，$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≥1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$的最小值为$\frac{1}{2}$，
∴实数p的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]．
故选：B．

点评 本题考查了函数最值的应用、基本不等式，要注意不等式成立的条件．