Question

2．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1-tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）均成立的t的取值范围；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0求出k的值，分离参数得到t＞2sinθ+2cosθ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），根据三角形函数的性质即可求出t范围．
（2）由f（1）=$\frac{3}{2}$，可解得a=2，于是可得f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），令t=2^x-2^-x，则g（x）=h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）_min=-1，即可求得m的值

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，
解得k=2，
∴f（x）=a^x-a^-x，
∵f（1）=a-$\frac{1}{a}$＞0，且a＞0且a≠1，
∴a＞1，
∴f（x）是定义域为R的奇函数且单调递增，
∵f（sin2θ+cos2θ）+f（1-tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）均成立，
∴sin2θ+cos2θ+1-tcosθ＜0，
即tcosθ＞sin2θ+cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos²θ，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosθ∈（0，1），
则t＞2sinθ+2cosθ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
又当θ=$\frac{π}{4}$时，2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）的最大值为2$\sqrt{2}$，
∴t＞2$\sqrt{2}$，
∴t的取值范围为（2$\sqrt{2}$，+∞）；
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a^x-a^-x，
∵f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，则2^2x+2^-2x=t²+2，由x∈[1，+∞），得t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
∴g（x）=h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
当m≥$\frac{3}{2}$时，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-1，解得m=$\sqrt{3}$，或m=$-\sqrt{3}$（舍去），
当m＜$\frac{3}{2}$时，当t=$\frac{3}{2}$，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=1，解得m=$\frac{7}{4}$（舍去）．
综上，m的值是2，$\sqrt{3}$．

点评 本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，函数恒成立的问题，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．