Question

1．如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=$\sqrt{13}$．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明SA⊥AB，SA⊥AD，即可证明SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，证明∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，求出MA，MD，即可求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：在直角三角形PBC中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，
所以PB=5，PD=2.5，DC=1.5，
因为∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P，
所以△PAD∽△PCB，
所以$\frac{PA}{AC}=\frac{PD}{PB}=\frac{AD}{BC}$，
所以PA=2，AB=PB-PA=3，AD=1.5，
△SAB中，SA=PA=2，SB=$\sqrt{13}$，
所以SA²+AB²=SB²，
所以SA⊥AB
因为AD∥PB，
所以SA⊥AD，
因为AB∩AD=A，
所以SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：在图2中，延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，则
因为PA=SA，PD=SD，
所以MA⊥SP，MD⊥SP，
所以∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，
因为SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A，
所以AD⊥平面SPB，
因为MA?平面SPB，
所以AD⊥MA．
在直角三角形SPA中，PA=SA=2，M为SP的中点，
所以SP=2$\sqrt{2}$，MA=$\sqrt{2}$，
在△SPD中，PD=SD=2.5，M为SP中点，所以MD=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
所以cos∠AMP=$\frac{MA}{MD}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
所以平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

点评 考查线面垂直的性质于判定定理，考查平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．