Question

8．求满足下列条件的椭圆方程：
（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于$\frac{2}{3}$；
（2）椭圆经过点（-6，0）和（0，8）；
（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m，n＞0），由题意代入点（-6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；
（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得a-c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c的关系解得b，即可得到椭圆方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得，2a=12，e=$\frac{2}{3}$，
即有a=6，$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，即有c=4，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{5}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
（2）设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m，n＞0），
由题意代入点（-6，0）和（0，8），可得
36m+0=1，且0+64n=1，
解得m=$\frac{1}{36}$，n=$\frac{1}{64}$，
即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{64}$+$\frac{{x}^{2}}{36}$=1；
（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a-c=4，a+c=10，
解得a=7，c=3，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{40}$=1；
同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{40}$=1．
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{40}$=1或$\frac{{y}^{2}}{49}$+$\frac{{x}^{2}}{40}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题．