Question

3．已知点$A（-\frac{1}{2}，0）$，抛物线y²=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=$\sqrt{2}$|PF|，则|OP|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点F，设P（$\frac{1}{2}$m²，m），运用两点的距离公式，结合条件|AP|=$\sqrt{2}$|PF|，计算可得m，再由两点的距离公式计算即可得到结论．

解答 解：抛物线y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），
设P（$\frac{1}{2}$m²，m），
由|AP|=$\sqrt{2}$|PF|，
可得|AP|²=2|PF|²，
即有（$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$）²+m²=2[（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$）²+m²]，
化简得m⁴-2m²+1=0，
解得m²=1，
即有|OP|=$\sqrt{\frac{1}{4}{m}^{4}+{m}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，同时考查两点的距离公式的运用，属于中档题．