Question

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角公式化简函数f（x）=acos2x+

b

2

sin2x+a，然后将x=0，x=

π

3

代入求出a，b的值，进而由余弦函数的特点求出最小值．
（II）根据方程的根可得出sin（2α+

π

4

）=sin（2β+

π

4

），然后由三角函数的特点可知2α+

π

4

=2kπ+π-（2β+

π

4

）进而得出α+β=kπ+

π

4

，即可知tan（α+β）=1，从而证明结论．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=acos2x+

b

2

sin2x+a
由f（0）=2 f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

得

a+a=2 - a 2 + 3 b 4 +a= 1 2 + 3 2

解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
所以f（x）min=1-

2

，此时x=kπ+

5π

8

，k∈Z
（Ⅱ）α，β是方程

2

cos（2x-

π

4

）+1=0的两个根
∴

2

sin（2α+

π

4

）+1=

2

sin（2β+

π

4

）+1即sin（2α+

π

4

）=sin（2β+

π

4

）
∴2α+

π

4

=2kπ+2β+

π

4

 ①或2α+

π

4

=2kπ+π-（2β+

π

4

）②
α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+

π

4

∴tan（α+β）=tan（kπ+

π

4

）=1
∴

sin(α+β)

cos(α+β)

=1
即sin（α+β）=cos（α+β）．

点评：此题考查了二倍角公式和两角和与差公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．