Question

(本小题满分12分) 如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）4x²-y²-4=0（x≠1且x≠-1）；（2）.

【解析】（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.

由题意，有·=4

化简可得，4x²-y²-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x²-y²-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分

（2）由消去y，可得3x²-2mx-m²-4=0.  (﹡)

   对于方程(﹡)，其判别式=（-2m)²－4×3（-m²-4）=16m²+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.

结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q、R的坐标分别为（X_Q,Y_Q）,(X_R,Y_R),则为方程（*）的两根.

因为,所以，

所以。

此时        

所以

所以

综上所述，  …………………………12分

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。