Question

已知连续不断函数f（x）=cosx-x，x∈（0，

π

2

），g（x）=sinx+x-

π

2

，x∈（0，

π

2

），h（x）=xsinx+x-

π

2

，x∈（0，

π

2

）
（1）证明：函数f（x）在区间（0，

π

2

）上有且只有一个零点；
（2）现已知函数g（x），h（x）在（0，

π

2

）上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数f（x），g（x），h（x）的零点分别为x₁，x₂，x₃．
求证：①x₁+x₂=

π

2

；
②判断x₂与x₃的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由零点存在性定理知f（x）在区间（0，

π

2

）上有零点，运用单调性定义证明；f（x）在（0，

π

2

）上是单调递减函数．
（2）将其变形为：cos（

π

2

-x₂）-（

π

2

-x₂）=0，即f（

π

2

-x₂）=0，在（0，

π

2

）上有唯一零点，从而有

π

2

-x₂=x₁，x₁+x₂=

π

2

，
Ⅰ）因为x₂是g（x）的零点，所以有sinx₂+x₂-

π

2

=0，
Ⅱ）判断x₂＜x₃，运用零点存在性定理和定义判断证明即可．

解答： 解：（1）先证明f（x）在区间（0，

π

2

）上有零点：由于f（0）=1＞0，f（

π

2

）=-

π

2

，
由零点存在性定理知f（x）在区间（0，

π

2

）上有零点，
再证明f（x）在（0，

π

2

）上是单调递减函数：
设0＜x₁＜x₂＜

π

2

，
f（x₁）-f（x₂）=（cosx_x-x₁）-（cosx₂-x₂）=（cosx₁-cosx₂）-（x₁-x₂）
由于y=cosx在（0，

π

2

）上递减，
所以cosx₁-cosx₂＞0又-（x₁-x₂）＞0
从而f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（0，

π

2

）上是单调递减函数．
故函数f（x）在（0，

π

2

）有且只有一个零点，
（2）Ⅰ）因为x₂是g（x）的零点，所以有sinx₂+x₂-

π

2

=0，
将其变形为：cos（

π

2

-x₂）-（

π

2

-x₂）=0，即f（

π

2

-x₂）=0，
从而有f（

π

2

-x₂）=f（x₁）=0，
又因为

π

2

-x₂，x₁∈（0，

π

2

），且由（1）的结论f（x）
在（0，

π

2

）上有唯一零点，
从而有

π

2

-x₂=x₁，x₁+x₂=

π

2

，
Ⅱ）判断x₂＜x₃，证明如下：由于h（0）=-

π

2

＜0，h（1）=sin1=1-

π

2

＞sin

π

4

+1-

π

2

=

2

2

+1-

π

2

，
由零点存在性定理和已知得0＜x₃＜1，
从而有   0=x₃sinx₃+x₃-

π

2

＜sinx₃+x₃-

π

2

=g（x₃），g（x₂）=0
所以有g（x₂）＜g（x₃），
又由已知g（x）在（0，

π

2

）上单调递增，所以x₂＜x₃．

点评：本题综合考查了函数的性质，零点问题，分类转化，不等式问题，综合性较强，难度较大，属于难题．