Question

已知sin（3π-α）=

2

sin（π-β），

3

cos（-α）=-

2

cos（π+β），且α、β∈（0，

π

2

），求α和β的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：由已知及诱导公式可得sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，两边平方后相加可得1=2sin²β+

2

3

cos²β，由α、β∈（0，

π

2

），可解得：cosβ=

3

2

，cosα=

2

2

，从而可求α和β的值．

解答： 解：∵sin（3π-α）=

2

sin（π-β），

3

cos（-α）=-

2

cos（π+β），
∴sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ
∴两边平方可得sin²α=2sin²β①，cos²α=

2

3

cos²β②，
∴①+②可得：1=2sin²β+

2

3

cos²β，整理可得：cos²β=

3

4

．
∵α、β∈（0，

π

2

），
∴可解得：cosβ=

3

2

，cosα=

2

2

．
∴可解得：α=

π

4

，β=

π

6

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了诱导公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．