Question

从0，1，2，3，4中抽取三个数构成等比数列，余下的两个数是递增等差数列{a_n}的前两项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an+1an+2

，对任意n∈N^*，都有T_n＜m²，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）只能由1，2，4，三个数构成等比数列，因此剩下的两个数：0，3，为递增等差数列{a_n}的前两项．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得a_n=3n-3，a_n+1=3n，当n≥2时，

1

anan+1

=

1

9n(n-1)

=

1

9

(

1

n-1

-

1

n

)．利用“裂项求和”可得T_n，再利用数列的单调性即可得出m的取值范围．

解答： 解：（1）只能由1，2，4，三个数构成等比数列，因此剩下的两个数：0，3，为递增等差数列{a_n}的前两项．
∴首项为0，公差为3，
∴a_n=0+3（n-1）=3n-3．
（2）由（1）可得a_n=3n-3，a_n+1=3n，
∴当n≥2时，

1

anan+1

=

1

9n(n-1)

=

1

9

(

1

n-1

-

1

n

)．
∴T_n=

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an+1an+2

=

1

9

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

9

(1-

1

n+1

)=

n

9n+9

．
∵对任意n∈N^*，都有T_n＜m²，
∴m²≥

1

9

，
解得m≥

1

3

或m≤-

1

3

．
∴实数m的取值范围是m≥

1

3

或m≤-

1

3

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．