Question

已知凼数f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

，x∈R，求函数f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由x∈[-

π

4

，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，从而解得f（x）=2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]，即可求函数f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值．

解答： 解：∵f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x-

1

2

+

1

2

cos2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-

3

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．