Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1．若x∈[-1，4]时，关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由题意可得出函数是周期为2的偶函数且x∈（-1，1）时，f（x）=2^|x|-1，方程f（x）-log_a（x+2）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log_a（x+2）的图象的交点个数，利用f（1）=f（3）=1，关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，可得log_a（1+2）＜1且log_a（3+2）＞1，即可得出答案．

解答： 解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1
∴x∈（-1，1）时，f（x）=2^|x|-1
又对任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），则f（x）=f（x+2），故周期是2
方程f（x）-log_a（x+2）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log_a（x+2）的图象的交点个数
由f（1）=f（3）=1，关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，
可得log_a（1+2）＜1且log_a（3+2）＞1
∴3＜a＜5．
故答案为：（3，5）．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，函数的周期性与偶函数的性质，属于中档题．