Question

如图，在棱长为2的正方体AC′中，E，F为BC和AA′的中点
（1）求证：FC′⊥平面B′D′E
（2）求A′B与平面B′D′E所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先建立空间直角坐标系，利用向量的数量积得到直线与直线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．
（2）首先求出平面的法向量，进一步利用向量的数量积，及夹角公式求出结果．

解答： 证明：（1）在棱长为2的正方体AC′中，以点D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
则：D（0，0，0），E（1，2，0），F（（2，0，1），D′（0，0，2），A′（2，0，2），B（2，2，0），C′（0，2，2），B′（2，2，2）．
所以：

FC′

=(-2，2，1)，

B′D′

=(-2，-2，0)，

B′E

=(-1，0，-2)，

A′B

=(0，2，-2)
则：

FC′

•

B′D′

=0
所以：FC′⊥B′D′
同理：

FC′

•

B′E

=0
所以：FC′⊥B′E
则：FC′⊥平面B′D′E
（2）由于：FC′⊥平面B′D′E
所以：

FC′

可以看做是平面B′D′E的法向量，
则：cos＜

A′B

，

C′F

＞=

A′B • C′F

| A′B || C′F |

=

2

6

则：A′B与平面B′D′E所成角的正弦值为

2

6

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定的应用，空间直角坐标系，向量的数量积的应用，法向量的应用，向量的夹角，属于基础题型．