Question

设有二元关系f（x，y）=（x-y）²+a（x-y）-1，已知曲线г：f（x，y）=0
（1）若a=2时，正方形 ABCD的四个顶点均在曲线上г，求正方形ABCD的面积；
（2）设曲线г与x轴的交点是M、N，抛物线г′：y=

1

2

x²+1与 y 轴的交点是G，直线MG与曲线г′交于点P，直线NG 与曲线г′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．
（3）设曲线г与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线г在a≠0时共有四个交点：A（x₁，x₂），B（x₃，x₄），C（x₅，x₆），D（x₇，x₈），集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集设为Y_i（i=1，2，…，255），将Y_i中的所有元素相加（若i Y 中只有一个元素，则其是其自身）得到255 个数y₁，y₂，…，y₂₅₅求所有的正整数n 的值，使得y₁ⁿ+y₂ⁿ+…+y₂₅₅ⁿ 是与变数a及变数x_i（i=1，2，…8）均无关的常数．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）令f（x，y）=（x-y）²+2（x-y）-1=0，解得x-y=-1±

2

，由于f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出面积S．
（2）：在曲线C中，令y=0，则x²+ax-1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=-1，G（0，1），
则直线MG：y=-

1

m

x+1，NG：y=-

1

n

x+1．分别与抛物线方程联立可得P(-

2

m

，

2+m2

m

)，Q(-

2

n

，

2+n2

n

)．直线PQ的方程为：y-

2

n2

-1=(m+n)(x+

2

n

)，令x=0，可得y=3，因此直线PQ过定点（0，3）．
（3）令y=0，则x²+ax-1=0，则mn=-1，即点R（u，v）在曲线xy=-1上，又曲线C：f（x，y）=0．恒表示平行线x-y=

-a± a2+4

2

，A（x₁，x₂），B（x₃，x₄）关于直线y=-x对称，即x₁+x₂+x₃+x₄=0，同理可得x₅+x₆+x₇+x₈=0，则x₁+x₂+…+x₈=0，集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集设为Y_i=1，2，…，255），取Y₁={x₁，x₂，…，x₈}，则y₁=x₁+x₂+…+x₈=0，即n∈N^*，

y

n 1

=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y_p，Y_q），Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y_p+y_q=0．可以利用扇形归纳法证明：对于Y_p的元素和y_p与Y_q的元素和y_q，当n为奇数时，

y

n p

+

y

n q

=0．即可得出．

解答： 解：（1）令f（x，y）=（x-y）²+2（x-y）-1=0，解得x-y=-1±

2

，
∴f（x，y）=0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S=4．

（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x²+ax-1=0，
设M（m，0），N（n，0），则mn=-1，G（0，1），
则直线MG：y=-

1

m

x+1，NG：y=-

1

n

x+1．
联立

y=- 1 m x+1 y= 1 2 x2+1

，解得P(-

2

m

，

2+m2

m2

)，
同理可得Q(-

2

n

，

2+n2

n2

)．
∴直线PQ的方程为：y-

2

n2

-1=(m+n)(x+

2

n

)
令x=0，则y=

2

n2

+1+(m+n)

2

n

=

2

n2

+1+(-

1

n

+n)

2

n

=3，
因此直线PQ过定点（0，3）．

（3）令y=0，则x²+ax-1=0，
则mn=-1，即点R（u，v）在曲线xy=-1上，
又曲线C：f（x，y）=（x-y）²+a（x-y）-1=0．
恒表示平行线x-y=

-a± a2+4

2

，如图所示，
A（x₁，x₂），B（x₃，x₄）关于直线y=-x对称，则

x1+x3

2

=-

x2+x4

2

，即x₁+x₂+x₃+x₄=0，
同理可得x₅+x₆+x₇+x₈=0，则x₁+x₂+…+x₈=0，
集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集设为Y_i，
取Y₁={x₁，x₂，…，x₈}，则y₁=x₁+x₂+…+x₈=0，即n∈N^*，

y

n 1

=0，
对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y_p，Y_q），Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，
这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y_p+y_q=0．
以下证明：对于Y_p的元素和y_p与Y_q的元素和y_q，当n为奇数时，

y

n p

+

y

n q

=0．
先证明：n为奇数时，x+y能够整除xⁿ+yⁿ，用数学归纳法证明．
1°当n=1时，成立；
2°假设当n=k（奇数）时，x+y能够整除x^k+y^k，
则当n=k+2时，x^k+2+y^k+2=x^k+2-x^ky²+x^ky²+y^k+2=x^k（x²-y²）+y²（x^k+y^k），
因此上式可被x+y整除．
由1°，2°可知：n为奇数时，x+y能够整除xⁿ+yⁿ．
又∵当n为奇数时，

y

n p

+

y

n q

=（y_p+y_q）M，其中M是关于y_p，y_q的整式，
∵Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，
∴每一个集合“对”（Y_p，Y_q）都满足y_p+y_q=0．则一定有

y

n p

+

y

n q

=（x+y）M=0，M∈N^*，
于是可得y₁ⁿ+y₂ⁿ+…+y₂₅₅ⁿ=0是常数．

点评：本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性、扇形归纳法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．