Question

【题目】已知椭圆的上顶点到左焦点的距离为.直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.

（1）求椭圆的方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点，证明见解析.

【解析】

（1）设椭圆的方程为，根据题意可求得、的值，进而可得椭圆的方程；

（2）求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求得点的坐标，进而可求得直线的方程；

（3）由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得知直线和的斜率之和为，代入韦达定理化简计算得出与所满足的关系式，进而得出直线所过的定点坐标.

（1）设椭圆的方程为，

该椭圆的上顶点到左焦点的距离为，即，可得，，

因此，椭圆的方程为；

（2）由题意可得，，直线的斜率为，

，则直线的斜率为，

直线的方程为，

联立，得，解得或，所以点的坐标为.

直线的斜率为，因此，直线的方程为；

（3）由于直线与椭圆的两交点、都在轴上方，则直线的斜率存在，

设直线的方程为，设点、，

联立，消去得，

，得，

由韦达定理得，，

，所以，直线和的斜率之和为，

即，

，

，则直线的方程为，直线过定点.