Question

【题目】如图，，是离心率为的椭圆的左、右焦点，直线，将线段，分成两段，其长度之比为，设是上的两个动点，线段的中垂线与椭圆交于两点，线段的中点在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）设，由线段长度之比可列出等式求出c，代入离心率公式求得a，再求出b，即可求得椭圆的标准方程；（2）当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为，求出P、Q坐标直接求；当直线AB斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出、，可求得的关于m的表达式，根据题意求出m的范围即可求得的范围.

（1）设，因为直线，将线段，分成两段，其长度之比为，

所以，解得，

又离心率，所以，则，

所以椭圆C的方程为：；

（2）①当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为，此时PQ与x轴重合，

，因为，，

所以；

②当直线AB斜率存在时，设直线AB的斜率为k，，，

因为M是线段AB的中点，所以，，

由，整理得，

则，所以，此时直线PQ的斜率为，直线PQ的方程为：即，

设，

联立，消去y，可得，

则，

，

直线与椭圆的交点为，

因为线段的中点在直线上，所以，则，

，即.