【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的右顶点与上顶点分别为
,椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,若直线与该椭圆交于
两点,直线
的斜率互为相反数.
①求证:直线的斜率为定值;
②若点在第一象限,设
与
的面积分别为
,求
的最大值.
【答案】(1) (2) ①见解析,②
【解析】试题分析:(1)通过将点代入椭圆方程,结合离心率为
计算即得结论;
(2)通过(1)可知A(2,0)、B(0,1).①通过设直线的方程为
,则由题意直线
的方程为
,分别与椭圆方程联立,计算可知P
、Q
,利用斜率计算公式计算即可;②通过①可知P
、Q
,利用点P在第一象限可知
,分别计算出点P、Q到直线AB的距离,利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论.
试题解析:
(1)由题意,离心率,所以
,所以
,
故椭圆的方程为,将点
代入,求得
,
所以椭圆的标准方程为;
(2)①设直线的方程为
,则由题意直线
的方程为
,
由,得
,
所以点的坐标为
,
同理可求得点的坐标为
.
所以直线的斜率为
.
②设两点到直线
的距离分别为
,
因为点在第一象限,则点
必在第三象限,
所以,且点
分别在直线
的上、下两侧,
所以,
从而,
,
所以,
令,
则,
当且仅当,即
,即
时,
有最大值为
.
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【题目】已知函数的最小正周期是
,且当
时,
取得最大值3.
(1)求的解析式及单调增区间;
(2)若,且
,求
;
(3)将函数的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,且
是偶函数,求m的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,四边形
为菱形,
,
底面
,
为直线
上一动点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若,
分别为线段
,
的中点,求证:
平面
;
(Ⅲ)直线上是否存在点
,使得平面
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2,则异面直线EF与BC所成角大小为 .
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【题目】袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个,已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球,记第一次取出小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记“a+b=2”为事件A,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
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【题目】随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)甲班和乙班同学身高的中位数各是多少?并计算甲班样本的方差.
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.
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【题目】若a和b是计算机在区间(0,2)上产生的均匀随机数,则一元二次不等式ax2+4x+4b>0(a>0)的解集不是R的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=2cos2ωx+ sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π,给出下列四个命题:
①f(x)的最大值为3;
②将f(x)的图象向左平移 后所得的函数是偶函数;
③f(x)在区间[﹣ ,
]上单调递增;
④f(x)的图象关于直线x= 对称.
其中正确说法的序号是( )
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④
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