Question

【题目】为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.

（1）经过轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及期望；

（2）若经过轮投篮，用表示第轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.

①求；

②规定，经过计算机模拟计算可得，请根据①中值求出的值，并由此求出数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）①，，②，.

【解析】

（1）先阅读题意，可得的可能取值为，然后求出对应的概率，然后求出的分布列及期望即可；

（2）结合题意求出，然后求出的值，再利用累加法求数列的通项公式即可.

解：（1）的可能取值为，

则；

；

.

∴的分布列为：

	－1	0	1

期望.

即经过轮投篮，甲得分的期望为分.

（2）①由（1）知，

经过两轮投球，甲的累计得分低的有两种情况：

一是甲两轮都得分为；二是两轮中甲一轮得分，另一轮得分，则.

经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：；；；，

则；

②将的值分别代入得，

得，.

∴，即，

又，所以是首项、公比都是的等比数列.

∴，

∴，

∴数列的通项公式为.