Question

【题目】已知函数，，其中为自然对数的底数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数有两个极值点，()(若是函数的极大值或极小值，则m为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点).

①求a的取值范围；

②证明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②证明见解析

【解析】

（1）不等式变形为，令，利用导数研究的单调性，结合，可得不等式的解集；

（2）①求出导函数，再由的导数研究的单调性，得的正负，从而得的单调性，由的极小值小于0及零点存在定理可得的范围，②由极值点定义知是的极大值点，是极小值点，从而有，

设，则为偶函数，利用导数研究的单调性得，从而可证题设结论．

（1）由得

令，∴，令

当时，，递减；当时，，递增

∴

注意到，结合单调性知不等式的解集为

（2）

，由题意知有上有两个不等的实根

令，令

当时，，递减；当时，，递增，

∴

要使有两个零点，则，此时注意到

，∴在和上各有一个零点，满足题意，故的取值范围为

②由为的2个极值点，且

∴满足且由①知

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

则是的极大值点，是极小值点

∴

设，则为偶函数

，

∴在上单调递增

由时，，∴在上单调递增

∴，

又为偶函数，∴，，∴

从而．