Question

【题目】（本小题满分12分）如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形， ，四边形是矩形，平面平面， ， 和分别是和的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅱ）．

【解析】试题分析：第一问根据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在其中一个平面内找到和另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，第二问先在几何体中找到共点的相互垂直的三条直线，建立相应的空间直角坐标系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判断求得二面角的余弦值，结合二面角的取值范围，求得二面角的大小．

试题解析：（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点，

所以， 又因为平面， 平面，

所以平面． 设，连接，

因为为菱形，所以为中点

在中，因为， ，

所以，

又因为平面， 平面，

所以平面． 又因为， 平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形， 分别为的中点，

所以，因为平面平面，所以平面，

所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直．

所以以为原点， 所在直线分别为轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系．

因为底面是边长为的菱形， ， ，所以， ， ， ， ， ．所以， ．设平面的法向量为，则．令，得．

由平面，得平面的法向量为，则

所以二面角的大小为．